כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הקדמה 3 הספר "מתמטיקה לכיתה י״א – חלק א' – אשכול מדעים וחברה" מתאים לתכנית הלימודים החדשה ברמת יח"ל. ספר זה הוא הראשון מתוך שלושה ספרים, ועוסק בתכנים מתמטיים בהקשרים של תופעות מתחומי המדעים והחברה. העקרונות שלפיו נכתב הספר הם: בסיס אורייני - מתמטי ורלוונטיות לחיי היום יום; הבנה ועיבוד מידע; תובנה מספרית, מילולית, גרפית וגאומטרית ועוד. מה מיוחד בספר? • . המשימה נלמדת בכיתה ומהווה כלי עזר מצוין כל יחידה מתחילה במשימת פתיחה המסומנת בלפתיחת הנושא הנלמד. • כל יחידה מכילה פרקי לימוד, וכל פרק מכיל סעיפי לימוד. • ברקע האפור שבכל פרק משולבים תזכורות, דוגמאות פתורות, הסברים והערות, כדי לאפשר הוראה יעילה ונוחה. • הספר מכיל תרגול רב. • ברוב המקרים התשובות המצורפות לתרגילים הן גם "מסבירי דרך", ולא רק תשובות סופיות. • בסוף הספר יש חמישה נספחים בנושאים שנלמדו בחטיבת הביניים ובכיתה י׳, והנדרשים לצורך לימוד הנושאים בספר זה. מדריך למורה הספר מלווה במדריך למורה. בנוסף לרציונל הפדגוגי מופיעים בו פתרונות מפורטים של חלק מהשאלות, וכן הצעות לדרכי הוראה והמחשה. תודתנו נתונה לטלי רואש, ד"ר תמרה אבישר-זלדיס, ניצה פיינרו ורתם פרוידנברג, שהשתתפו בכתיבת חומרי הלמידה שבספר. תקוותנו שספר זה יסייע למורים בעבודתם ויוביל את התלמידים להצלחה. יצחק שלו & אתי עוזרי
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © מקרא משימת פתיחה, בדרך כלל בתחילת לימוד יחידה. המשימה תילמד בכיתה בהדרכת המורה. שאלה לדיון בכיתה – בקבוצות או בשיח כיתתי, בהדרכת המורה. שאלת חשיבה – שאלה בדרגת חשיבה גבוהה לפתרון בכיתה או בבית לפי שיקול דעת המורה. , יש להוריד לטלפון אפליקציה לקריאת הקוד. סריקת הקוד מקשרת QR שאלה, שבה מופיע קוד ליישומון, סרטון או מידע נוסף. ברוב השאלות לא מופיע מידע הנחוץ לפתרון השאלה עצמה, אלא מידע נוסף הקשור לנושא השאלה, המאפשר העשרה, השוואה או תרגול. .sheets הערה: כדי לפתוח חלק מהיישומונים בטלפון הסלולרי, נדרשת התקנה של תוכנת אקסל או לחלופין ניתן לפתוח יישומים אלה במחשב.
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תוכן העניינים 1................................................................................................. אשכול מדעים וחברה – פתיח 2........................................................................... יחידה ראשונה – גדילה ודעיכה מעריכית 3............................................................................................. זיהוי תהליכים מעריכיים של גדילה/דעיכה . א 4 ���������������������������������������������������������������������������������������� המידע מוצג באמצעות תיאור מילולי . ב 5 ��������������������������������������������������������������������������������������� המידע מוצג באמצעות תיאור ויזואלי תהליכים מעריכיים – ללא שימוש בנוסחה . א 10 ���������������������������������������������������������������������������������������� זיהוי הערכים בתהליכים מעריכיים . ב 13 ���������������������������������������������������������������� מציאת הכמות הסופית אחרי/לפני מספר יחידות זמן . ג 17 ������������������������������������������� מציאת מקדם הגדילה/דעיכה לפי כמויות בשתי יחידות זמן עוקבות תהליכים מעריכיים – באמצעות נוסחה . א 22 ���������������������������������������������������������������� מציאת הכמות הסופית אחרי/לפני מספר יחידות זמן . ב 27 ���������������������������������������������������������������������������������������������������� מציאת הכמות ההתחלתית . ג 31 ������������������������������������������������������������������������������������������� axn = b פתרון משוואות מהצורה . ד 32 ���������������������) מציאת מקדם הגדילה/דעיכה לפי כמויות בשתי יחידות זמן (שאינן בהכרח עוקבות . ה 37 ���������������������������������������������������������������������������������������������������� מציאת מספר יחידות הזמן תהליכים מעריכיים – תיאורים ויזואליים . א 44 ���������������������������������������������������������������������������������������� זיהוי הערכים בתיאורים ויזואליים . ב 48 ������������������������������������������������������� מציאת הכמויות, מקדם גדילה/דעיכה ומספר יחידות הזמן השוואה בין תהליכים . א 54 ��������������������������������������������������������������������������������������������� השוואה בין תהליכים מעריכיים . ב 62 ����������������������������������������������������������������������������� השוואה בין תהליך מעריכי לתהליך לינארי 67. ........................................................................................................................ תרגול משולב ומסכם 72. .......................................................................................................................................... תשובות
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 78.................... שימוש בכלים סטטיסטיים לעיבוד מידע סטיית תקן - יחידה שנייה - 79............................................................................................. המשמעות של מדד הפיזור – סטיית התקן חישוב סטיית התקן . א 86 ����������������������������������������������������������� שימוש בנוסחה לחישוב סטיית התקן וחישובה במחשבון . ב 97 ������������������������������������������������������������������������������� חישוב סטיית התקן כולל שימוש בנעלמים . ג 104 ������������������������������������������������������������� לחישוב סטיית התקן - הרחבה Excel שימוש בתוכנת סטיית התקן – שינוי בערכי המשתנה (אחד או יותר) . א 111 ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� תכונות סטיית התקן . ב 118 ������������������������������������������������������������������������������������ ) שינוי בערכי המשתנה (אחד או יותר 124........................................................................................ ) תוספת או הורדה של משתנה (אחד או יותר 128.......................................................................................................................................... תשובות 134................................................................................................. יחידה שלישית – הסתברות 135................................................................................... זיהוי מאורעות בלתי-תלויים ומאורעות תלויים כפל וחיבור הסתברויות של מאורעות בלתי תלויים ושל מאורעות תלויים . א 139 ����������������������������������������������������������� כפל וחיבור הסתברויות של שני מאורעות בלתי תלויים . ב 144 ������������������������������������������������������ כפל וחיבור הסתברויות של שלושה מאורעות בלתי תלויים . ג 149 ������������������������������������������������������������������� כפל וחיבור הסתברויות של שני מאורעות תלויים 152................................................................................................ חישוב הסתברות – ייצוג בעזרת טבלה 157....................................................................................... חישוב הסתברות – ייצוג בעזרת דיאגרמת עץ 180............................................................................................................... הסתברות – קבלת החלטות 186...................................................................................................... הסתברות – תרגול משולב ומסכם 193.......................................................................................................................................... תשובות נספחים 201........................................................................................................................... נספח א׳ - אחוזים 205....................................................................................... ) נספח ב׳ - מדדי מרכז (ממוצע, חציון ושכיח 209......................................................................................................................... נספח ג׳ - הסתברות 214................................................................................................................... נספח ד׳ - המרת יחידות 216......................................................................................................................... נספח ה׳ - נוסחאות
1 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © אשכול מדעים וחברה – פתיח • באשכול זה יידרש שימוש במיומנויות שנרכשו בלימודי כיתה י' והם: ✔ פתרון משוואות. ✔ קריאת מידע מייצוגים שונים. ✔ כלים סטטיסטיים. ✔ הסתברות בסיסית. • יחידות 3 אשכול מדעים וחברה מכיל ✔ יחידה ראשונה: למידת תהליכים ותופעות המתנהגים באופן מעריכי בהקשר למדעים וחברה. יחידה זו מטרתה להציג מודל גדילה ודעיכה מעריכית, להכיר את המצבים בהם נעשה שימוש במודל של גדילה ודעיכה מעריכית בהקשר של חברה ומדע. יחידה זו מהווה בסיס ללמידת הפרק המקביל באשכול כלכלי-פיננסי. ✔ יחידה שנייה: סטיית תקן - שימוש בכלים סטטיסטיים לעיבוד מידע. יחידה זו מטרתה להבין את הצורך בשימוש בסטיית תקן כמצביע על מידת ההטרוגניות או ההומוגניות של התפלגות הנתונים. ✔ יחידה שלישית: חישוב מתקדם של סיכוי/הסתברות להתרחשויות לא ודאיות. יחידה זו היא המשך הפרק המקביל בכיתה י'. מטרת היחידה להציג את אופן חישוב ההסתברויות של חיתוך מאורעות בלתי תלויים ומאורעות תלויים.
2 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © יחידה ראשונה גדילה ודעיכה מעריכית מטרת היחידה היא להציג מודל גדילה ודעיכה מעריכית, להכיר את המצבים בהם נעשה שימוש במודל של גדילה ודעיכה מעריכית בהקשר של חברה ומדע. השאלות בגדילה ודעיכה עוסקות בתופעות מחיי היום יום המשתנות באופן מעריכי, כגון: תופעות ביולוגיות, פיזיקליות, חברתיות ועוד. ניתן לתאר את התופעות באופן מילולי, גרפי, אלגברי ובטבלה. ביחידה זו ייעשה שימוש גם בנושא אחוזים שנלמד בחטיבת הביניים ובכיתה י' – ראו נספח א'. ביחידה זו ייעשה שימוש גם בנושאים הבאים: • פתרון משוואות ממעלה ראשונה. • פתרון משוואות מעריכיות. • שינוי נושא נוסחה. • המרת יחידות. מה הקשר בין נגיף הקורונה לגדילה מעריכית? החלה ההתפרצות של נגיף הקורונה בעיר ווהאן שבסין. 2019 בסוף שנת ההתפשטות המהירה והנרחבת של הנגיף הובילה את ארגון הבריאות העולמי להכריז על המחלה כמגפה בסדר גודל עולמי (פנדמיה). הכרזה זו אינה קשורה במאפייני המחלה, אלא קשורה ליכולת ההדבקה המהירה של הנגיף. לפני החלת ההגבלות בישראל (מסכות, איסור התקהלות ועוד), מספר הנבדקים שתוצאת בדיקתם היתה חיובית הוכפל כל שלושה ימים. מגפת הקורונה גרמה לכך שצמד המילים גדילה מעריכית (אקספוננציאלית) נשמע בתקשורת שוב ושוב. ביחידה זו נעסוק בתהליכים מעריכיים. משימת פתיחה חבצלות מים, הגדלות באגם, מכפילות את הכמות שלהן בכל יום. יום הן מכסות את כל האגם, 20 אם בתוך כמה ימים נדרשו להן כדי לכסות רק מחצית מהאגם? .72 התשובה למשימת הפתיחה - בעמ׳
3 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © זיהוי תהליכים מעריכיים של גדילה/דעיכה בפרק זה נלמד לזהות תהליך מעריכי/ליניארי לפי ההגדרה שתילמד, ונזהה תהליכים מעריכיים של גדילה/דעיכה. נגדיר: • מספר קבוע של ב מספר קבוע" או "פיתהליך מעריכי הוא תהליך שבו הכמות משתנה מדי יחידת זמן אחת " ."אחוזים • .יחידותמספר קבוע של בתהליך לינארי (קווי) הוא תהליך שבו הכמות משתנה מדי יחידת זמן אחת המידע בפרק מוצג באמצעות תיאור מילולי או ויזואלי ומתאר מצבים בחיי היום יום בהקשר מדעי וחברתי . כדי להמחיש את ההבדל בין תהליך מעריכי לתהליך לינארי, נתבונן בדוגמה הבאה: הן המנהלות של שתי חנויות מקוונות מתחרות.נופר ודנה במועד מסוים יצאו שתיהן בקמפיינים פרסומיים. במועד זה היו בכל אחת לקוחות רשומים. 200 מהחנויות יצאה בקמפיין מקומי וזול יחסית, שצפוי להגדיל את מספר הלקוחות בחנות דנה לקוחות בחודש. 125 שלה ב- יצאה בקמפיין יקר במיוחד, שצפוי להגדיל את מספר הלקוחות בחנות שלהנופר בחודש. 1.5 פי בחודשיים הראשונים כמעט ולא היה הבדל בין מספר הלקוחות בשתי החנויות. בעקבות זאת חשבה נופר לבטל את הקמפיין היקר, אך שימו לב למה שקרה בחודשים הבאים! המשיך לגדול בקצב קבוע, לעומת זאתדנהמספר הלקוחות בחנות של גדל מחודש לחודש באופן משמעותי.נופרמספר הלקוחות בחנות של ✔ – מספר הלקוחות של נופר היה גדול ממספר חודשים 4 לאחר הלקוחות של דנה, שהרי: (200 + 125 + 125 + 125 + 125) לקוחות 700 :דנה (200 ∙ 1.5 ∙ 1.5 ∙ 1.5 ∙ 1.5 = 1012.5) לקוחות 1013 : כ- נופר ההפרש בין מספר הלקוחות בשתי החנויות ילך ויגדל באופן משמעותי ככל שיעברו החודשים. • ) בכל חודש, ולכן לפי ההגדרה מדובר 125 מספר קבוע של לקוחות (ב-ב גדל דנהמספר הלקוחות בחנות של .בתהליך לינארי (קווי) • )50% קבוע שהוא באחוז גדל = 1.5 מספר קבוע של לקוחות (פי פי גדל נופרמספר הלקוחות בחנות של .בתהליך מעריכיבכל חודש, ולכן לפי ההגדרה מדובר 500 600 200 900 1000 0 1 2 3 4 5 700 800 100 1100 1200 1300 1400 1500 1600 300 400 החודש דנה נופר מספר הלקוחות
4 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © מה נלמד? ✔ זיהוי תהליכים מעריכיים בהם המידע מוצג באמצעות תיאור מילולי. ✔ זיהוי תהליכים מעריכיים בהם המידע מוצג באמצעות תיאור ויזואלי. .72 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' .א המידע מוצג באמצעות תיאור מילולי הגדרנו מהו תהליך מעריכי ומהו תהליך לינארי, תוך המחשת ההבדל ביניהם. בסעיף זה נלמד להבחין בין תהליך מעריכי לתהליך לינארי. אם מדובר בתהליך מעריכי, תיעשה הבחנה אם מדובר בתהליך גדילה או בתהליך דעיכה. המידע בסעיף זה מוצג באמצעות תיאור מילולי. הסבר ודוגמה פתורה נגדיר: אפשרויות: 2 בתהליך מעריכי ייתכנו • מדי יחידת זמן אחת "פי מספר קבוע" או "במספר קבוע גדֵלה הוא תהליך בו הכמות גדילה מעריכיתתהליך של אחוזים". • מדי יחידת זמן אחת "פי מספר קבוע" או "במספר קבוע קטֵנה הוא תהליך בו הכמות דעיכה מעריכיתתהליך של אחוזים". דוגמה חוגי כדור: 4 במועדון ספורט יש .2 פי מספר הנרשמים קטֵן נרשמים, ובכל חודש 50 חוג כדוריד שיש בו כיום .6 ב- מספר הנרשמים גדֵל נרשמים, ובכל חודש 50 חוג כדורעף שיש בו כיום .7% ב- מספר הנרשמים גדֵל נרשמים, ובכל חודש 50 חוג כדורסל שיש בו כיום .10% ב- מספר הנרשמים קטֵן נרשמים, ובכל חודש 50 חוג כדורגל שיש בו כיום היעזרו בהגדרות וקבעו באילו מהחוגים מתואר תהליך מעריכי, ובאילו מתואר תהליך לינארי. אם מתואר תהליך מעריכי, קבעו האם מדובר בתהליך של גדילה או בתהליך של דעיכה. נמקו. פתרון: • מספר קבוע.בכדי לזהות באילו חוגים התהליך הוא לינארי, נזהה באילו חוגים השינוי הוא בכל חודש. 6 ב-החוג היחיד שניתן לזהות בו שינוי כזה הוא חוג כדורעף – מספר הנרשמים בו גדל • קבוע.באחוז מספר קבוע או פיהחוגים בהם התהליך הוא מעריכי, הם החוגים בהם השינוי הוא בשלושת החוגים האחרים השינוי הוא מעריכי:
5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © בכל חודש, ובחוג כדורגל השינוי 7% ב-בכל חודש, בחוג כדורסל השינוי הוא 2 פי בחוג כדוריד השינוי הוא בכל חודש. 10% ב-הוא • כעת, בשלושת החוגים הללו (כדוריד, כדורסל וכדורגל), נבחין אם מדובר בגדילה מעריכית או בדעיכה מעריכית. ✔ רק גדֵל – ניתן לראות שמספר הנרשמים גדֵלהגדילה מעריכית מתרחשת כאשר בתהליך מעריכי הכמות בחוג כדורסל. ✔ קטֵן – ניתן לראות שמספר הנרשמים קטֵנהדעיכה מעריכית מתרחשת כאשר בתהליך מעריכי הכמות בשני החוגים האחרים - חוג כדוריד וחוג כדורגל. לפניכם תהליכים המוצגים באמצעות תיאור מילולי. • קבעו באילו מהתהליכים מתואר תהליך מעריכי ובאילו מתואר תהליך לינארי. • אם מתואר תהליך מעריכי, קבעו האם מדובר בתהליך של גדילה או בתהליך של דעיכה. 1 . בכל שעה. 2 מספר האנשים הנחשפים לפרסומת מסוימת גדֵל פי 2 . בכל חודש. 0.95 כמות הגז במזגן קטֵנה פי 3 . בכל שנה. 3 4 כמות האלמוגים במפרץ קטֵנה פי 4 . ילדים בכל שנה. 200 מספר הילדים ביישוב מסוים גדֵל ב- 5 . בכל יום. 1% מספר המטופלים המאובחנים כחולים בשפעת במרפאה מסוימת גדֵל ב- 6 . בכל שבוע. 8% כמות המים במכל קטֵנה ב- 7 . בכל שנה. 6 מספר המצטיינים בבית ספר מסוים גדֵל ב- 8 . בכל שנה. 0.9 קיבולת של סוללה קטֵנה פי 9 . בכל חודש. 15% מספר העוקבים ברשת חברתית אחרי אדם מסוים גדֵל ב- 10 . בכל שנה. 10 מספר העופות הדורסים בשמורת טבע קטֵן ב- .ב המידע מוצג באמצעות תיאור ויזואלי בסעיף זה נלמד להבחין בין תהליך מעריכי לתהליך לינארי. אם מדובר בתהליך מעריכי, תיעשה הבחנה אם מדובר בתהליך גדילה או בתהליך דעיכה. המידע בסעיף זה מוצג באמצעות תיאור ויזואלי. • (עולה, יורד או קבוע). קו ישר מוצג באמצעותתהליך לינאריתיאור ויזואלי של • (עולה או יורד).קו עקום מוצג באמצעות תהליך מעריכיתיאור ויזואלי של נעסוק בתיאורים ויזואליים של תהליכים שאינם לינאריים או מעריכיים.לאהערה: בספר זה הסבר ודוגמה פתורה
6 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © דוגמה מינהל החינוך ביישוב מסויים עקב אחר השינויים במספר התלמידים בארבעה בתי ספר שביישוב. תיאורים ויזואליים של תהליכים מעריכיים או לינאריים המתארים את מספר התלמידים בבתי הספר 4 לפניכם לפי השנים. היעזרו בהגדרה וקבעו באילו מהתיאורים הויזואליים מתואר תהליך מעריכי, ובאילו מתואר תהליך לינארי. אם מתואר תהליך מעריכי, קבעו האם מדובר בתהליך של גדילה או בתהליך של דעיכה. נמקו. פתרון: • .לינארייםבתיאורים הוויזואליים א' ו-ד' מופיעים קווים ישרים, כלומר מוצגים בהם תהליכים בגרף א' מוצג ישר עולה המתאר עלייה במספר התלמידים במהלך השנים, ובגרף ד' מוצג ישר יורד המתאר ירידה במספר התלמידים במהלך השנים. • .מעריכייםבתיאורים הוויזואליים ב' ו-ג' מופיעים עקומים, כלומר מוצגים בהם תהליכים במספר התלמידים במהלך השנים, ובגרף ג' מוצג עקום יורד גדילה מעריכיתבגרף ב' מוצג עקום עולה המתאר במספר התלמידים במהלך השנים.ירידה מעריכיתהמתאר לפניכם תהליכים המוצגים באמצעות תיאור ויזואלי. • קבעו באילו מהתהליכים מתואר תהליך מעריכי ובאילו מתואר תהליך לינארי. • אם מתואר תהליך מעריכי, קבעו האם מדובר בתהליך של גדילה או בתהליך של דעיכה. 11 . . א . ב . ג . ד השנה מספר התלמידים השנה מספר התלמידים השנה מספר התלמידים השנה מספר התלמידים השנה מספר התושבים ביישוב השבוע מספר החולים היום המרחק (מ')
7 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 14 . דוגמה פתורה ימים: 5 כלים, בכל יום במשך 4 דיאגרמות עמודות המתארות תהליכים של כמות הנוזל ב- 4 לפניכם תהליכים מעריכיים ותהליכים ליניאריים בלבד. . א היא הגדולה ביותר? 3 באיזה כלי כמות הנוזל ביום ה- . ב באילו כלים כמות הנוזל היא במגמת ירידה? . ג זָהו באילו דיאגרמות מתואר תהליך מעריכי. נמקו. . ד בדיאגרמות שבהן מתואר תהליך מעריכי, זָהו אם מדובר בגדילה מעריכית או בדעיכה מעריכית. ( 1) 5 4 3 2 1 כמות הנוזל (סמ"ק) היום 1000 500 4500 4000 1600 640 256 102.4 3000 2500 0 4000 3500 2000 1500 (2) 5 4 3 2 1 כמות הנוזל (סמ"ק) היום 200 1200 1000 600 700 800 900 1000 600 0 800 400 ( 3) (4) 5 4 3 2 1 כמות הנוזל (סמ"ק) היום 2000 10000 900 1620 2916 5248.8 9447.84 6000 0 8000 4000 היום מספר המבקרים השבוע כמות החומר (גרם) השנה כמות החומר (גרם) 5 4 3 2 1 כמות הנוזל (סמ"ק) היום 200 100 900 850 700 550 400 250 600 500 0 800 700 400 300
8 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © פתרון: . א סמ"ק. 2916 כמות הנוזל היא הגדולה ביותר ושווה ל- (3) בכלי . ב כמות הנוזל היא במגמת ירידה, שכן כמות הנוזל קטנה מיום ליום. (4) ו- (2) בכלים . ג כדי לזהות ביתר קלות את התהליכים המעריכיים, נוסיף לכל עמודה בכל דיאגרמת עמודות נקודה במרכז הצלע העליונה ונחבר את הנקודות. (2) 5 4 3 2 1 כמות הנוזל (סמ"ק) היום 200 1200 1000 600 0 800 400 (1 ) (4) 5 4 3 2 1 כמות הנוזל (סמ"ק) היום 2000 10000 6000 0 8000 4000 (3) חיבור הנקודות יוצר קו ישר, ולכן הדיאגרמות מתארות תהליך לינארי (קווי). (4) ו- (1) בדיאגרמות מתארות (3) ו- (2) חיבור הנקודות יוצר גרף שאינו קו ישר - קו עקום, ולכן דיאגרמות (3) ו- (2) בדיאגרמות תהליך מעריכי. . ד הוא גרף יורד, ולכן התהליך המוצג בדיאגרמה זו הוא תהליך של (2) הגרף המחבר את הנקודות בדיאגרמה הוא גרף עולה, ולכן התהליך המוצג בדיאגרמה (3) . הגרף המחבר את הנקודות בדיאגרמה דעיכה מעריכית . גדילה מעריכיתזו הוא תהליך של 17 . לפניכם גרף נקודות המציג את מספר המשתתפים בהרצאה באולם מסוים. . א ?2 כמה השתתפו בהרצאה בשבוע ה- . ב אנשים? 200 באיזה שבוע נכחו בהרצאה . ג ?2 ל- 1 מהו ההפרש בין מספר המשתתפים בין השבוע ה- (1) ( 2) ?3 ל- 2 מהו ההפרש בין מספר המשתתפים בין השבוע ה- . ד קבעו האם מתואר בגרף תהליך מעריכי או תהליך לינארי. אם מתואר תהליך מעריכי, קבעו האם מדובר בתהליך של גדילה או תהליך של דעיכה. נמקו. 5 4 3 2 1 כמות הנוזל (סמ"ק) היום 1000 500 4500 3000 2500 0 4000 3500 2000 1500 5 4 3 2 1 כמות הנוזל (סמ"ק) היום 200 100 900 600 500 0 800 700 400 300 השבוע 50 0 1 4 2 5 3 6 100 150 200 250 300 350 400 450 מספר המשתתפים 425 350 275 200 125
9 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 18 . לפניכם דיאגרמת עמודות המציגה את נפח הנתונים (בג'יגה-בייט) שנשמר במערכת אחסון הנתונים של חברה מסוימת. . א ?1 מה היה נפח הנתונים שאוחסן בחודש ה- . ב 2000 באילו חודשים נפח הנתונים שנשמר היה גבוה מג'יגה-בייט? . ג 1 פי כמה גדל נפח הנתונים שנשמר מהחודש ה- (1) ?2 לחודש ל- ( 2) ?3 לחודש ה- 2 פי כמה גדל נפח הנתונים שנשמר מהחודש ה- . ד קבעו האם מתואר בדיאגרמה תהליך מעריכי או תהליך לינארי. אם מתואר תהליך מעריכי, קבעו האם מדובר בתהליך של גדילה או תהליך של דעיכה. נמקו. 19 . לפניכם דיאגרמת עמודות המתארת את השינוי בכמות החומר שנבדק במעבדה מסוימת. . א באיזה חודש כמות החומר היתה מקסימלית? ובאיזה חודש כמות החומר היתה מינימלית? . ב האם ככל שעוברים החודשים כמות החומר במגמת עלייה או במגמת ירידה? . ג קבעו האם מתואר בדיאגרמה תהליך מעריכי או תהליך לינארי. אם מתואר תהליך מעריכי, קבעו האם מדובר בתהליך של גדילה או תהליך של דעיכה. נמקו. 20 . לפניכם דיאגרמת עמודות המציגה את השינוי במספר התלמידים הלומדים בבית ספר מסויים. . א ?400 באילו שנים היה מספר התלמידים נמוך מ- . ב כמה תלמידים מתווספים לבית הספר בכל שנה? . ג קבעו האם מתואר בדיאגרמה תהליך מעריכי או תהליך לינארי. אם מתואר תהליך מעריכי, קבעו האם מדובר בתהליך של גדילה או תהליך של דעיכה. נמקו. 5 4 3 2 1 נפח הנתונים שנשמר (בג׳יגה בייט) החודש 1000 5000 3000 0 4000 2000 450 810 1458 2624.4 4723.92 5 4 3 2 1 כמות החומר (מיליגרם) החודש 2000 10000 6000 0 8000 4000 8000 3200 1280 512 204.8 5 4 3 2 1 מספר התלמידים השנה 100 600 500 300 0 400 200 300 350 400 450 500
10 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תהליכים מעריכיים - ללא שימוש בנוסחה בפרק זה נתמקד בחישוב כמויות בתהליכים מעריכיים ללא שימוש בנוסחה. נדרש זיהוי הנתונים, זיהוי מה שמבוקש – תוך שיוכם למושגים מתאימים. כמו כן, נדרש חישוב מקדם הגדילה/דעיכה על סמך נתונים נוספים וזיהוי יחידת הזמן. מספר יחידות הזמן בפרק זה הוא קטן, כך שניתן לבצע את החישובים ללא שימוש בנוסחה. ומתאר תהליכים מעריכיים בחיי היום יום בהקשר מדעי וחברתי .תיאור מילוליהמידע בפרק זה מוצג באמצעות .בנספח א' שנלמד בחטיבת הביניים ובכיתה י' ומופיע אחוזיםבשאלות ייעשה שימוש בנושא מה נלמד? ✔ זיהוי הערכים בתהליכים מעריכיים. ✔ מציאת הכמות הסופית אחרי/לפני מספר יחידות זמן. ✔ מציאת מקדם הגדילה/דעיכה לפי כמויות בשתי יחידות זמן עוקבות. .73-72 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' .א זיהוי הערכים בתהליכים מעריכיים בסעיף זה נציג דוגמאות בהן ינתן תיאור מילולי של תהליך גדילה/דעיכה, מתוכו נלמד לזהות מה מייצגים: הכמות ההתחלתית, מקדם גדילה/דעיכה, יחידת הזמן, הכמות הסופית. הסבר ודוגמאות פתורות נגדיר בתהליך מעריכי הכמות משתנה מדי יחידת זמן אחת "פי מספר קבוע" או "במספר קבוע של אחוזים". .q ומסמנים אותו ב- מקדם הגדילה / דעיכהלמספר קבוע זה קוראים לדוגמה: ✔ בכל שעה. 4 מספר האנשים שנחשפים להודעה מסוימת גדֵל פי .q = 4 מקדם הגדילה הוא ✔ בכל חודשיים. 10% כמות ההיעדרות של העובדים בחברה מסוימת קטֵן ב- .) 100 10 100 09 − = . ( q = 0.9 מקדם הדעיכה הוא בתהליך המעריכי משתתפים ארבעה ערכים: • הכמות ההתחלתית. • הזמן – יחידת הזמן ומספר יחידות הזמן. • מקדם הגדילה/דעיכה. • הכמות הסופית.
11 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © נזהה את ארבעת הערכים בדוגמאות הבאות. דוגמה א' בכל יום. 3 תרבית חיידקים גדֵלה פי מיליון חיידקים. 2 בתחילת הבדיקה היו בתרבית מיליון חיידקים. 162 ימים היו בתרבית 4 לאחר זָהו את הערכים הבאים: . א הכמות ההתחלתית. . ב הזמן – יחידת הזמן ומספר יחידות הזמן. . ג מקדם הגדילה/דעיכה. . ד הכמות הסופית. פתרון: . א מיליון חיידקים. 2 היא הכמות ההתחלתית . ב מיליון חיידקים. כלומר מדובר 162 ימים היו בתרבית 4 . נתון שלאחר יום המוצגת בשאלה היא יחידת הזמן . יחידות זמן 4 ימים שהם 4 כאן על . ג בכל יום. המילה "גדֵלה" מצביעה 3 – בדוגמה זו נתון שתרבית החיידקים גדֵלה פי מקדם הגדילה/דעיכה על גדילה ולא על דעיכה. מקדם הגדילה הוא הערך שבו הכמות מוכפלת בכל יחידת זמן. .)3 < 1( 3 מקדם הגדילה הוא בדוגמה זו . ד – הכמות שנתונה או מבוקשת לאחר/לפני זמן מסוים מתחילת התהליך. הכמות הסופית מיליון חיידקים. 162 הכמות הסופית היא בדוגמה זו דוגמה ב' בכל חצי שנה. 2% מספר התושבים בעיר מסוימת קטֵן ב- תושבים. 941,192 תושבים. בעוד שנה וחצי יהיו בעיר 1,000,000 כיום יש בעיר זָהו את הערכים הבאים: . א הכמות ההתחלתית. . ב הזמן – יחידת הזמן ומספר יחידות הזמן. . ג מקדם הגדילה/דעיכה. . ד הכמות הסופית. פתרון: . א תושבים. 1,000,000 היא הכמות ההתחלתית . ב בכל חצי שנה. כלומר יחידת הזמן היא חצי שנה. 2% נתון: מספר התושבים בעיר מסוימת קטֵן ב- תושבים. 941,192 כעת נזהה את מספר יחידות הזמן. בהמשך השאלה נתון: בעוד שנה וחצי יהיו בעיר כלומר עלינו למצוא כמה פעמים מופיעה יחידת הזמן חצי שנה בתקופה של שנה וחצי. יחידות זמן של חצי שנה. 3 בשנה אחת יש שני חצאי שנה, לכן בתקופה של שנה וחצי, יש . יחידות זמן 3 , ויש חצי שנה היא יחידת הזמןתשובה:
12 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ג בכל חצי שנה. המילה "קטֵן" מצביעה על דעיכה ולא על גדילה. 2% בשאלה נתון שמספר התושבים קטֵן ב- .) 100 2 100 − ( 0.98 לכן מקדם הדעיכה הוא .)1 ל- 0 בין 0.98( 0.98 מקדם הדעיכה הוא תשובה: . ד הכמות הסופית היא הכמות לאחר מספר יחידות הזמן שצוינו. . תושבים 941,192 הכמות הסופית היא בשאלה זו הערות: • יחידת הזמן היא לא תמיד יחידה שלמה כמו שעה, יום, שבוע חודש וכו'. יחידת הזמן נקבעת על-פי נתוני התרגיל בהתאמה למקדם הגדילה / דעיכה. למשל: חודשים. 3 כל 20% בכל חצי שעה או קטן ב- 1.3 גדֵל פי • ) בעזרת הנוסחה הבאה: q ), נחשב את מקדם הגדילה / דעיכה ( p אם נתון האחוז בו הכמות גדֵלה או קטֵנה ( " עבור דעיכה. הנוסחה אינה מופיעה בדף הנוסחאות. − " עבור גדילה, והסימן " + . הסימן " q p = ± 100 100 • .1 ל- 0 , מקדם הדעיכה הוא מספר בין 1 בתהליך מעריכי, מקדם הגדילה הוא מספר הגדול מ- בכל אחד מהתיאורים המילוליים הבאים, זָהו את הערכים הבאים: . א הכמות ההתחלתית. . ב יחידת הזמן ומספר יחידות הזמן. . ג מקדם הגדילה/דעיכה. . ד הכמות הסופית. 21 . ס"מ. 60 גובהו של צמח מטפס היה בעת קנייתו בכל שבוע. 1.05 גובהו גדֵל פי ס"מ. 88.65 שבועות הגיע גובהו ל- 8 לאחר 22 . בכל שנה. 1.2 מספר המבקרים בפארק שעשועים גדֵל פי מבקרים. 500,000 ביקרו בפארק 2019 בשנת מבקרים. 1,036,800 ביקרו בפארק 2023 בשנת 23 . בשמורת טבע בוצעו שתי ספירות של אוכלוסיית השועלים. שנים 7 שועלים, ובספירה השנייה שבוצעה 1,500 בספירה הראשונה נספרו שועלים. 1,048 לאחר הספירה הראשונה נספרו בכל שנה. 0.95 אוכלוסיית השועלים בשמורה זו קטֵנה בצורה מעריכית פי
13 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 24 . קילומטרים. 2 אורי הצטרף לחוג ריצה חדש. באימון הראשון הוא רץ למרחק של קילומטרים. 3.04 שבועות הוא רץ למרחק של 3 בכל שבוע. לאחר 15% המרחק שרץ אורי גדל ב- 25 . .8% בחנות למכירת פירות טריים, המשקל הכולל של הפירות קטֵן בכל שעה ב- קילוגרם. 600 היה משקל הפירות הטריים 6:00 בשעה קילוגרם. 158.04 היה משקל הפירות הטריים 22:00 בשעה 26 . חודשים. 3 בכל 5% מספר חברי המועדון בחברת אופנה, מתרבה בצורה מעריכית ב- חברי מועדון. 1000 במועד מסוים היו לחברת האופנה חברי מועדון. 1216 לאחר שנה היו לחברה 27 . .80°C תבשיל הוכנס לקירור, כשהוא בטמפרטורה של דקות. 10 בכל 8.5% הטמפרטורה של התבשיל קטֵנה בצורה מעריכית ב- .46.95°C לאחר שעה, טמפרטורת התבשיל הגיעה לטמפרטורה של .ב מציאת הכמות הסופית אחרי/לפני מספר יחידות זמן בסעיף זה נציג תיאור מילולי של תהליך גדילה/דעיכה, שבו נתונים שלושה מהערכים בתהליך ועל פיהם יש לחשב (ללא נוסחה) את הערך החסר. נתייחס למקרים מגוונים בהם יש לחשב את הכמות אחרי/לפני מספר יחידות הזמן. דוגמאות פתורות דוגמה א' חיידקים. 60,000 היו בתרבית 3.1.2024 בכל יום. בתאריך 2 תרבית חיידקים גדֵלה פי . א זָהו את הערכים הנתונים: הכמות ההתחלתית, יחידת הזמן ומקדם הגדילה/דעיכה. . ב ?6.1.2024 כמה חיידקים היו בתרבית בתאריך . ג ?1.1.2024 כמה חיידקים היו בתרבית בתאריך פתרון: . א .2 חיידקים, יחידת הזמן היא יום, מקדם הגדילה הוא 60,000 הכמות ההתחלתית היא . ב , ולכן מתקיים: 2 , כלומר הכמות גדֵלה כל יום פי 2 מקדם הגדילה הוא 3.1.2024 4.1.2024 5.1.2024 6.1.2024 60,000 120,000 240,000 480,000 לאחר יום אחד ∙2 לאחר יומיים ∙2 לאחר ימים 3 ∙2 חיידקים. 480,000 ימים היו בתרבית 3 , כלומר לאחר 6.1.2024 תשובה: בתאריך
14 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ג ), ביצענו פעולות כפל 3.1.2024 לחישוב הכמויות בתאריכים שלאחר התאריך שבו נתונה הכמות ההתחלתית ( לחישוב הכמויות, תוך התקדמות מיום ליום לאורך ציר הזמן. הוא תאריך מוקדם יותר מהתאריך שבו נתונה הכמות ההתחלתית. 1.1.2024 התאריך , נבצע פעולת חילוק כדי לסגת לימים מוקדמים יותר: 1.1.2024 לחישוב כמות החיידקים בתאריך 1.1.2024 2.1.2024 3.1.2024 4.1.2024 5.1.2024 6.1.2024 15,000 30,000 60,000 120,000 240,000 480,000 לפני יומיים :2 לאחר יום אחד ∙2 ההתחלה לפני יום אחד :2 לאחר יומיים ∙2 לאחר ימים 3 ∙2 חיידקים. 15,000 היו בתרבית 1.1.2024 תשובה: בתאריך דוגמה ב' גרם. 126 משקלו של חומר רדיואקטיבי מסוים הוא .20.63% שנים ב- 10 משקל החומר יורד בכל . א זָהו את הערכים הנתונים: הכמות ההתחלתית, יחידת הזמן ומקדם הגדילה/דעיכה. . ב שנים? 30 מה יהיה משקל החומר בעוד . ג שנים? 20 מה היה משקל החומר לפני פתרון: . א שנים. נחשב את מקדם הדעיכה: 10 גרם. יחידת הזמן היא 126 הכמות ההתחלתית היא .) 100 100 7937 100 2063 07937 − = = . . . ( 0.7937 , שקולה להקטנה פי 20.6% הקטנה ב- . לא נעגל את המספר ולא נקצר אותו, כך שיהיו פחות ספרות מימין 0.7937 מקדם הדעיכה הוא לנקודה העשרונית. . ב שנים. 10 יחידת הזמן היא יחידות זמן: 3 "קפיצות", כלומר יש 3 שנים נצטרך 30 לכן לצורך חישוב משקל החומר בעוד 126 100 79.37 63 בעוד שנים 10 ∙0.7937 בעוד שנים 20 ∙0.7937 בעוד שנים 30 ∙0.7937 גרם. 63 שנים משקל החומר הרדיואקטיבי יהיה כ- 30 תשובה: בעוד . ג שנים. 10 יחידת הזמן היא יחידות זמן לכיוון 2 "קפיצות" לכיוון הנגדי, כלומר 2 שנים נצטרך 20 לכן לצורך חישוב משקל החומר לפני הנגדי. נבצע פעולת חילוק כדי לסגת לזמן מוקדם יותר: 200.01 158.75 126 100 79.37 63 לפני שנים 10 :0.7937 לפני שנים 20 :0.7937 ההתחלה בעוד שנים 10 ∙0.7937 בעוד שנים 20 ∙0.7937 בעוד שנים 30 ∙0.7937 גרם. 200.01 שנים משקל החומר הרדיואקטיבי היה 20 תשובה: לפני
15 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 28 . .0.93 בשל טפיל הפוגע בעצים, התברר כי כמות העץ בפרדס קטֵנה בכל חודש פי טון. 4,000 בתחילת השנה כמות העץ בפרדס היתה . א זהו את הערכים הנתונים: כמות התחלתית, יחידת הזמן ומקדם הגדילה/דעיכה. אם הפרדס לא ירוסס כנגד הטפיל: . ב מה תהיה כמות העץ בפרדס לאחר חודש אחד? . ג חודשים? 3 מה תהיה כמות העץ בפרדס לאחר . ד מה היתה כמות העץ בפרדס לפני חודשיים? 29 . היו בחנות 2020 בכל שנה. בתחילת שנת 1.05 מספר ההזמנות בחנות מקוונת גדֵל פי הזמנות. 15,000 המקוונת . א זהו את הערכים הנתונים: כמות התחלתית, יחידת הזמן ומקדם הגדילה/דעיכה. . ב ?2021 מהו מספר ההזמנות בחנות בתחילת . ג ?2024 מהו מספר ההזמנות בחנות בתחילת . ד ?2018 מהו מספר ההזמנות בחנות בתחילת 30 . על מנת לעצור התפשטות של מחלה, מבצעת המדינה תהליך של חיסון האוכלוסייה. תושבים. 800,000 חוסנו במדינה 1.1.2024 נכון לתאריך .1.85 בעקבות הגעה של מנות חיסון נוספות, מספר האנשים שחוסנו גדֵל בכל חודש פי . א .1.3.2024 מצאו את מספר האנשים שחוסנו עד לתאריך . ב יסתיים 1.5.2024 תושבים. האם בתאריך 10,000,000 במדינה יש תהליך החיסון? סיכום • יש חשיבות רבה לזיהוי הערכים ושיוכם למושגים: כמות התחלתית, יחידת הזמן ומספר יחידות הזמן, מקדם הגדילה/דעיכה וכמות סופית. • יש לשים לב ליחידת הזמן ולמספר יחידות הזמן, כי בהתאם להן נחליט על מספר ה"קפיצות". • לחישוב הכמות הסופית בזמן מאוחר יותר יש לכפול במקדם הגדילה/דעיכה. לחישוב הכמות הסופית בזמן מוקדם יותר יש לחלק במקדם הגדילה/דעיכה. • לעיתים מתקבלת כמות שהיא מספר לא שלם. יש להפעיל שיקול דעת אם לעגל את התוצאה למספר שלם, ספרות אחרי הנקודה העשרונית. לדוגמה במקרה של משקל חומר 2 או להשאירה כמספר לא שלם שמעוגל עד ניתן להשאיר את התוצאה כמספר לא שלם. לעומת זאת אם מדובר במספר אנשים, יש לעגל את התוצאה למספר שלם.
RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=