יח״ל 3 רמת אשכול התמצאות במישור ובמרחב
תוכן העניינים 1. ......................................................................... אשכול התמצאות במישור ובמרחב-פתוח 2. .......................................................... יחידה ראשונה – היקפים של צורות גיאומטריות 3. .......................................................................................................................... היקף בחיי היום יום היקף משולשים . א 5 ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� משפט פיתגורס . ב 7 ������������������������������������������������������������������������������������������������� היקף משולשים ללא אוריינות . ג 13 ������������������������������������������������������������������������������������������������ היקף משולשים עם אוריינות היקף מרובעים . א 16 ������������������������������������������������������������������������������������������������ היקף מרובעים ללא אוריינות . ב 23 ������������������������������������������������������������������������������������������������� היקף מרובעים עם אוריינות היקף מעגלים . א 30 ������������������������������������������������������������������������������������������������� היקף מעגלים ללא אוריינות . ב 33 ��������������������������������������������������������������������������������������������������� היקף מעגלים עם אוריינות היקף של צורות גיאומטריות מורכבות . א 36 �������������������������������������������������������������������� היקף צורות גיאומטריות מורכבות ללא אוריינות . ב 39 ���������������������������������������������������������������������� היקף צורות גיאומטריות מורכבות עם אוריינות השפעת השינוי בממדים על ההיקף . א 44 �������������������������������������������������������������������������������������������� ) צורות מלבניות (כולל ריבועיות . ב 48 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� צורות מעגליות 52.................................................................................................. היקף – השוואות ו/או קבלת החלטות 60........................................................................................................................................... תשובות 65....................................................................................................... יחידה שנייה – מסלולים אורכי מסלולים . א 66 ��������������������������������������������������������������������������������������������� שאלות ללא צורות גיאומטריות . ב 73 ���������������������������������������������������������������������������������������������� שאלות עם צורות גיאומטריות 82................................................................................................................................. תכנון מסלולים 88................................................................................................................................ בחירת מסלולים 100......................................................................................................................................... תשובות 104......................................................... יחידה שלישית – שטחים של צורות גיאומטריות המחשת מושג השטח, יחידת שטח וחישוב שטח (כולל אומדן) . א 105 ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� המחשת מושג השטח . ב 105 ���������������������������������������������������������������������������������������������������� יחידת שטח וחישוב שטח . ג 107 ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� אומדן שטח 109....................................................................................................... המחשת הנוסחאות לחישוב שטח שטח משולשים . א 113 ���������������������������������������������������������������������������������������������� שטח משולשים ללא אוריינות
. ב 118 ������������������������������������������������������������������������������������������������ שטח משולשים עם אוריינות שטח מרובעים . א 122 ����������������������������������������������������������������������������������������������� שטח מרובעים ללא אוריינות . ב 129 ������������������������������������������������������������������������������������������������� שטח מרובעים עם אוריינות שטח עיגולים . א 135 ������������������������������������������������������������������������������������������������� שטח עיגולים ללא אוריינות . ב 137 ��������������������������������������������������������������������������������������������������� שטח עיגולים עם אוריינות שטח של צורות גיאומטריות מורכבות . א 140 �������������������������������������������������������������������� שטח צורות גיאומטריות מורכבות ללא אוריינות . ב 142 ��������������������������������������������������������������������� שטח צורות גיאומטריות מורכבות עם אוריינות השפעת השינוי בממדים על השטח . א 148 ������������������������������������������������������������������������������������������� ) צורות מלבניות (כולל ריבועיות . ב 152 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ צורות מעגליות 156.................................................................................................. שטח – השוואות ו/או קבלת החלטות 162.......................................................................................................................................... תשובות 167...................................................................................................... יחידה רביעית – ריצופים מצולעים . א 168 ������������������������������������������������������������������������������������������������ סכום הזוויות במצולע קמור . ב 171 ��������������������������������������������������������������������������������������� גודל זווית פנימית במצולע משוכלל . ג 173 ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� שטח משושה משוכלל 175..................................................................................................................... ריצופים בחיי היום יום 177................................................................................... ריצוף של המישור באמצעות צורות גיאומטריות 180................................................................................................................... שילוב של ריצוף ואומנות 183.......................................................... חישוב שטחים ועלויות של ריצופים באמצעות צורות גיאומטריות 191............................................................................................................. קבלת החלטות לגבי ריצופים 197.......................................................................................................................................... תשובות 200....... יחידה חמישית – היקפים ושטחים של צורות גיאומטריות בהקשר אורייני 200............................................................................................................... היקף ושטח בחיי היום יום 202...................................................................................... היקף ושטח של צורות גיאומטריות בסיסיות 207...................................................................................... היקף ושטח של צורות גיאומטריות מורכבות 216.................................................... היקף ושטח של צורות גיאומטריות – הגדלה/הקטנה של מדדי הצורה 220........................................................ היקף ושטח של צורות גיאומטריות – השוואה ו/או קבלת החלטות 226......................................................................................................................................... תשובות נספחים 229.......................................................................... נספח א' – הגדרות ותכונות של הצורות הגיאומטריות 232......................................................................... נספח ב' – היקפים ושטחים של הצורות הגיאומטריות 234................................................................................................................... נספח ג' – המרת יחידות
מקרא משימת פתיחה, בדרך כלל בתחילת לימוד יחידה. המשימה תילמד בכיתה בהדרכת המורה. שאלה לדיון בכיתה – בקבוצות או בשיח כיתתי, בהדרכת המורה. שאלת חשיבה – שאלה בדרגת חשיבה גבוהה לפתרון בכיתה או בבית לפי שיקול דעת המורה. , יש להוריד לטלפון אפליקציה לקריאת הקוד. סריקת הקוד מקשרת QR שאלה, שבה מופיע קוד ליישומון, סרטון או מידע נוסף. ברוב השאלות לא מופיע מידע הנחוץ לפתרון השאלה עצמה, אלא מידע נוסף הקשור לנושא השאלה, המאפשר העשרה, השוואה או תרגול.
1 אשכול התמצאות במישור ובמרחב - פתיח • אשכול זה מתמקד באובייקטים של העולם האמתי. בעיות שנפתרות באשכול זה ממחישות יישומיות רחבה של גיאומטריה בחיי האדם. • תכנים מתמטיים באשכול (כולל מושגים מתמטיים): ✔ היקפים ושטחים של צורות גיאומטריות. ✔ המרת יחידות. ✔ פונקציה ריבועית – מציאת מינימום/מקסימום של הפונקציה. ✔ אומדן. • תכנים אוריינים באשכול: ✔ הדוגמאות המוצגות הן מחיי היום יום של התלמידים. ✔ מוצגים יישומים ספציפיים ביחידות נפרדות. • יחידות: 5 אשכול התמצאות במישור ובמרחב מכיל ✔ יחידה ראשונה: היקפים של צורות גיאומטריות (משולשים, מרובעים, מעגלים, צורות המורכבות ממלבנים ו/או ממעגלים ו/או מחלקי מעגלים). ✔ יחידה שנייה: מסלולים כולל חישוב מהירות. ✔ יחידה שלישית: שטחים של צורות גיאומטריות (משולשים, מרובעים, מעגלים, צורות המורכבות ממלבנים ו/או ממעגלים ו/או מחלקי מעגלים). ✔ יחידה רביעית: ריצופים. ✔ יחידה חמישית: היקפים ושטחים של צורות גיאומטריות כולל מינימום/מקסימום (פונקציה ריבועית). • בסוף הספר מופיעים נספחים בנושאים שנלמדו בחטיבת הביניים, ונדרשים ללימוד באשכול זה.
2 יחידה ראשונה היקפים של צורות גיאומטריות ביחידה זו נעסוק בנושאים הבאים: • משפט פיתגורס. • תכונות של צורות גיאומטריות (משולש שווה-שוקיים, משולש שווה-צלעות, משולש ישר-זווית, מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע, טרפז). • היקף צורות שהשפה שלהן מורכבת מקטעים (כולל משולש, מקבילית, מלבן, מעוין וריבוע). • היקף מעגל. • היקף צורות שהשפה שלהן מורכבת מקטעים ומחלקי מעגל/מעגלים. • שימוש בהיקף צורות גיאומטריות בהקשר אורייני. • ההשפעה של שינוי של אחד או יותר מממדי הצורה (מלבן או מעגל) על ההיקף של הצורה – בהקשר אורייני. • הפעלת שיקולי כדאיות בסיטואציות אורייניות הדורשות השוואה, תוך חישוב של ההיקפים של צורות גיאומטריות ו/או חישוב העלויות הנדרשות. משימת פתיחה . א לפניכם בריכה שכל זוויותיה ישרות. ( 1) חשבו את היקף הבריכה (הנתונים במ'). ( 2) לאיזו בריכה יש היקף גדול יותר: מ'? 6 x מ' 4 לבריכה הנתונה או לבריכה מלבנית שממדיה הם . ב לפניכם שתי צורות. שתי הצורות מורכבות מריבועים חופפים ומחצי מעגל שמחליף את אחת הצלעות. ( 1) לאיזו צורה יש היקף גדול יותר? נמקו את תשובתכם. .60 התשובה למשימת הפתיחה בעמ' 3 4 1 2
3 היקף בחיי היום יום בפרק זה נדגים בצורה מוחשית מצבים מחיי היום יום, שבהם נעשה שימוש בהיקף ונתייחס למשמעות ההיקף בהקשר למצב המוצג. .60 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' דוגמה פתורה לפניכם טבלת מידות לבגדי תינוקות ופעוטות. . א ק"ג. 7.5 ס"מ ומשקלו 68 אורכו של מיכאל הוא איזו מידה של בגדים יכולה להתאים לו? . ב תמר מעוניינת לקנות בגד מסוים לבְנה, אך התברר לה שמהדגם שבחרה נותרו באתר רק המידות .18−24 ,9−12 ,6−9 ,N B ק"ג. 11 ס"מ ומשקלו 76 אורכו של בנה הוא האם מהדגם שבחרה נשארה מידה מתאימה עבורו? שימו לב! אם יש חריגה (אפילו קטנה) באחד הנתונים, רצוי להזמין מידה שתיתן מענה לשני הנתונים. פתרון: . א ס"מ. 67 . מידה זו מתאימה לתינוק שאורכו 3−6 ק"ג מתאימה המידה 7.5 לפי טבלת המידות, עבור משקל של ס"מ, ולכן המידה גבולית עבורו. מומלץ להזמין מידה אחת גדולה יותר. 68 אורכו של מיכאל הוא , שהיא מידה אחת גדולה יותר המתאימה יותר לאורכו. 6−9 תשובה: כדאי להזמין למיכאל מידה . ב 10.5 . מידה זו מתאימה לתינוק שמשקלו 9−12 ס"מ מתאימה המידה 76 לפי טבלת המידות, עבור אורך של .12−18 ק"ג לכן המידה גבולית עבורו. מומלץ להזמין לו מידה אחת גדולה יותר, 11 ק"ג. משקלו של בנה הוא המידה המבוקשת לא נותרה באתר. ) מהדגם שבחרה תמר לבנה. 12−18 תשובה: באתר לא נשארה מידה מתאימה ( . 1 תנו דוגמה מחיי היום יום, למצבים שבהם נדרש חישוב ההיקף. . 2 לפניכם מידות של בגדי גברים עבור חולצות/סריגים/מעילים בחברת אופנה מסוימת. . א ס"מ. הוא מעוניין לקנות מעיל. 112 היקף החזה של אורי הוא איזו מידה עליו להזמין? . ב ס"מ 106 יואב מעוניין לקנות סריג. היקף החזה שלו הוא ס"מ. איזו מידה עליו להזמין? 41 והיקף הצוואר שלו הוא מידה אורך (ס"מ) משקל (ק"ג) 2 45 SNB .5 3 50 NB .5 0−3 60 5.5 3−6 67 7.5 6−9 72 9 9−12 76 10.5 12−18 80 12 18−24 85 13.5 אורך מידה היקף חזה (ס"מ) היקף צוואר (ס"מ) XS 88-92 36 S 93-98 38 M 99-104 40 L 105-110 42 XL 111-116 44 XXL 117-125 46 XXXL 126-132 48
4 . ג לביא מעוניין לקנות חולצה מכופתרת, אך התברר לו שנותרו באתר חולצות מכופתרות רק במידות ס"מ. 97 ס"מ והיקף החזה שלו הוא 39 . היקף הצוואר שלו הוא XXL ,XL , M האם יש חולצה במידה מתאימה עבורו? נמקו. . 3 כדור הארץ הוא כוכב לכת. . א באילו יחידות מדידה הגיוני למדוד את היקף כדור הארץ סביב קו המשווה? חפשו באינטרנט את המידע לשאלות הבאות: . ב מהו היקף כדור הארץ סביב קו המשווה? . ג מהו היקף כדור הארץ לאורך מעגל העובר דרך הקוטב הצפוני והקוטב הדרומי (מעגל כזה נקרא "קו אורך")? . 4 היקף הראש של תינוק הוא אחד מהממדים החשובים שנבדקים, היות והוא מעיד על התפתחות תקינה של המוח. ס"מ. 37 ס"מ ל- 33 היקף ראש תקין במהלך הלידה נע בין שבסוף השאלה וחפשו מידע בנוגע לעלייה תקינה בהיקף הראש של התינוק: QR סרקו את הקוד . א בששת החודשים הראשונים לחייו. . ב מגיל חצי שנה עד שנה. . ג מגיל שנה עד שנתיים. ) (מתוך אתר משרד הבריאות, עקומות גדילה: קוטב צפוני קוטב דרומי קו המשווה
5 היקף משולשים בפרק זה נחזור על נושאים שנלמדו בחטיבת הביניים והם משפט פיתגורס והיקף משולשים, תוך שימוש בתכונות של המשולשים המופיעות בנספח א'. בחלק מהתרגילים בפרק זה נשתמש בפתרון משוואות ממעלה ראשונה וממעלה שנייה. מה נלמד? ✔ משפט פיתגורס. ✔ היקף משולשים ללא אוריינות. ✔ היקף משולשים עם אוריינות. .61-60 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' .א משפט פיתגורס תזכורת • משפט פיתגורס בכל משולש ישר-זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר: a2 + b2 = c2 שימו לב! .a + b = c אינו גורר את השוויון: a2 + b2 = c2 השוויון: • יישומון להמחשת משפט פיתגורס: • סרטון המציג את משפט פיתגורס באופן ויזואלי (מתוך מוזיאון המדע בירושלים): דוגמאות פתורות דוגמה א' ס"מ. 12 ס"מ ו- 9 אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם: מצאו את אורך היתר. יתר ניצב b c a ניצב 9 12 x
6 פתרון: את אורך היתר. x נסמן ב- לפי משפט פיתגורס, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר, ולכן: x2 = 92 + 122 x2 = 81 + 144 x2 = 225 x = ±15 הערה חשובה! .x = −15 או x = 15 יש שני פתרונות: x2 = 225 למשוואה מייצג אורך של צלע, לכן אורכו חייב להיות חיובי. x לכן בגיאומטריה נתייחס מעתה רק לתוצאה החיובית מבין שתי התוצאות שהתקבלו. ס"מ. 15 תשובה: אורך היתר הוא דוגמה ב' ס"מ. 8 ס"מ ואורך היתר הוא 2 3 במשולש ישר-זווית אורך ניצב אחד הוא מצאו את האורך של הניצב השני. פתרון: את הניצב השני. לפי משפט פיתגורס מתקיים: x נסמן ב- (2 3)2 + x2 = 82 4 ∙ 3 + x2 = 64 12 + x2 = 64 / −12 x2 = 52 (הפתרון השלילי נפסל) x = 7.21 ס"מ. 7.21 תשובה: אורך הניצב השני הוא . 5 במשולשים ישרי-הזווית הבאים (הנתונים בס"מ). x מצאו את . א 12 5 x . ב x 15 20 . ג 9 7 x 2 3 8 x
7 . 6 במשולשים ישרי-הזווית הבאים (הנתונים בס"מ). x מצאו את . א 5 4 x . ב 12 10 x . ג x 17 22 . 7 במשולשים ישרי-הזווית הבאים (הנתונים בס"מ). x מצאו את . א 10 8 x . ב x 58 3 . ג 12 x 6 5 . ד 3 x 91 . ה x 8 89 ו . 3 x 5 3 . 8 נתון:(∢A = 90°) ∆ABC במשולש ישר-זווית .AB = ס"מ 7 , CB = ס"מ 13 . א ס"מ? 13 גדול/קטן/שווה ל- AC מבלי לחשב, האם תוכלו לומר אם אורך הצלע . ב .AC מצאו את אורך הצלע .ב היקף משולשים ללא אוריינות בסעיף זה נעסוק בחישובי היקפים של משולשים: ישר-זווית, שונה צלעות, שווה-שוקיים, שווה-צלעות. תזכורת שווה לסכום אורכי כל צלעותיו. היקף משולש P = a + b + c ,Perimeter משמשת לסימון ההיקף. מקורה במילה האנגלית P האות שפירושה היקף. C A B a c b
8 דוגמה פתורה ס"מ. 8 הוא AB , אורך הניצב (∢B = 90°) ∆ABC במשולש ישר-זווית .AB מאורך הניצב 25% קטן ב- BC אורך הניצב . א .BC מצאו את אורך הניצב . ב .AC מצאו את אורך היתר . ג .∆ABC מצאו את היקף המשולש פתרון: . א ס"מ. 8 , שאורכו AB מאורך הניצב 25% קטן ב- BC הניצב .(100% – 25% = 75%) AB מאורכו של 75% מהווה BC כלומר אורכו של BC = 0.75 ∙ 8 = ס״מ 6 לכן: ס"מ. 6 הוא BC תשובה: אורך הניצב . ב לפי משפט פיתגורס מתקיים: 62 + 82 = AC2 36 + 64 = AC2 AC2 = 100 (הפתרון השלילי נפסל) AC = ס"מ 10 ס"מ. 10 הוא AC תשובה: אורך היתר . ג נמצא את היקף המשולש: P = 6 + 8 + 10 P = ס"מ 24 ס"מ. 24 תשובה: היקף המשולש הוא . 9 מצאו את ההיקף של כל אחד מהמשולשים הבאים (הנתונים בס"מ). . א משולש שונה-צלעות 8 11 13 . ב משולש שווה-שוקיים 8 11 . ג משולש שווה-צלעות 5 8 A B C
9 . 10 מצאו את אורכי הצלעות החסרות במשולשים הבאים על-פי הנתונים (הנתונים בס"מ). . א היקף המשולש הוא ס"מ. 29 . ב היקף המשולש שווה- ס"מ. 31 השוקיים הוא . ג היקף המשולש שווה- ס"מ. 27 הצלעות הוא . 11 ס"מ. 28 הוא ∆ABC היקף משולש ס"מ. 12 הוא BC אורך הצלע .BC ס"מ מאורך הצלע 5 קטן ב- AC אורך הצלע . א .AC מצאו את אורך הצלע . ב .AB מצאו את אורך הצלע . 12 לפניכם משולש שווה-צלעות ומשולש שווה-שוקיים. שני המשולשים שווים בהיקפם. אורך צלע המשולש שווה-הצלעות ס"מ. 12 הוא ס"מ 2 אורך הבסיס של המשולש שווה-השוקיים גדול ב- מאורך צלע המשולש שווה-הצלעות. . א מצאו את היקף המשולש שווה-הצלעות. . ב מצאו את אורך השוק של המשולש שווה-השוקיים. . 13 ס"מ. 4 במשולש ישר-זווית אורך הניצב הקצר הוא מאורך הניצב הקצר. 2 אורך היתר גדול פי . א מצאו את אורך הניצב הגדול. . ב מצאו את היקף המשולש. תזכורת • במשולש שווה-שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון לבסיס. AB = AC , AE ⊥ BC ⇒ BE = EC • יישומון להמחשת הקשר בין הגובה לבסיס והתיכון לבסיס במשולש שווה-שוקיים: 10 13 7 12 B C A 12 4 A E B C
10 דוגמה פתורה .)AB = AC הוא שווה-שוקיים ( ∆ABC המשולש ס"מ. 15 הוא AB אורך השוק ס"מ. 12 הוא גובה לבסיס ואורכו AD . א .BD סמנו את הנתונים בסרטוט ומצאו את אורך הקטע . ב .DC מצאו את אורך הקטע . ג .∆ABC מצאו את היקף המשולש פתרון: . א .BD = x נסמן: מתקיים: ∆ABD לפי משפט פיתגורס במשולש x2 + 122 = 152 x2 + 144 = 225 x2 = 81 (הפתרון השלילי נפסל) x = ס"מ 9 ס"מ. 9 הוא BD תשובה: אורך הקטע . ב הגובה לבסיס במשולש שווה שוקיים הוא גם תיכון לבסיס, ולכן מתקיים: .BD = DC = ס"מ 9 ס"מ. 9 הוא DC תשובה: אורך הקטע . ג .AB = AC = ס"מ 15 הוא שווה שוקיים, ולכן ∆ABC המשולש BC = BD + DC = 9 + 9 = ס"מ 1 8 :∆ABC נמצא את היקף המשולש P = 15 + 15 + 18 P = ס"מ 48 ס"מ. 48 הוא ∆ABC תשובה: היקף המשולש . 14 ,(AB = AC) ∆ABC במשולש שווה-שוקיים ס"מ. 8 הוא DC ס"מ. אורך הקטע 15 אורך הגובה לבסיס הוא . א מצאו את אורך שוק המשולש. . ב מצאו את היקף המשולש. B C A D C D B A 15 12 x A D B C
11 . 15 ,(AB = AC) ∆ABC במשולש שווה-שוקיים ס"מ. 10 אורך הגובה לבסיס הוא ס"מ מאורך הגובה לבסיס. 2 אורך הבסיס קטן ב- . א .CD מצאו את אורך הקטע . ב ∆ADC התבוננו במשולש .∆ABC ומצאו את אורך השוק של המשולש . ג .∆ABC מצאו את היקף המשולש . 16 ס"מ. 15 במשולש שווה-שוקיים אורך השוק הוא מאורך השוק. 20% אורך הגובה לבסיס קטן ב- . א מצאו את אורך הגובה לבסיס. . ב מצאו את אורך הבסיס של המשולש. . ג מצאו את היקף המשולש. . 17 ס"מ. 42 היקף משולש שווה-צלעות הוא . א מצאו את אורך צלע המשולש. . ב .BD מצאו את האורך של . ג מצאו את אורך הגובה של המשולש. . 18 .AB ס"מ מאורך הצלע 3 קטן ב- AC אורך הצלע ∆ABC במשולש ס"מ. 30 הוא BC אורך הצלע . א AB את אורך הצלע x סמנו ב- .AC והביעו באמצעותו את אורך הצלע . ב את היקף המשולש. x הביעו באמצעות . ג ס"מ. מצאו את אורך צלעות המשולש. 67 היקף המשולש הוא . 19 מאורך השוק. 80% במשולש שווה-שוקיים אורך הבסיס הוא ס"מ. 70 היקף המשולש הוא . א את אורך השוק והביעו באמצעותו את אורך הבסיס. x סמנו ב- . ב את היקף המשולש ומצאו את אורך שוק המשולש. x הביעו באמצעות B C A 10 D 15 C D A B A C B
12 . 20 מאורך הבסיס. 40% במשולש שווה שוקיים, אורך השוק גדול ב- ס״מ. 19 היקף המשולש הוא מצאו את צלעות המשולש. . 21 .(∢B = 90°) הוא ישר-זווית ∆ABC המשולש ס"מ. 12 הוא BC אורך הניצב מאורך הניצב השני. 25% אורך היתר גדול ב- . א את אורך היתר. x את אורך הניצב השני והביעו באמצעות x סמנו ב- . ב .AC ו- AB היעזרו במשפט פיתגורס ומצאו את אורכי הצלעות . ג .∆ABC מצאו את היקף המשולש . 22 ס"מ. 7 אורך הגובה לאחת הצלעות הוא ∆ABC במשולש שווה-צלעות . א והביעו באמצעותו DC את אורך הקטע x סמנו ב- את אורך צלע המשולש. (הדרכה: היעזרו בתכונות של משולש שווה- צלעות.) . ב .DC מצאו את אורך הקטע . ג .∆ABC מצאו את היקף המשולש . 23 ס"מ. 20 במשולש ישר-זווית אורך אחד הניצבים הוא ס"מ. 70 היקף המשולש . א את אורך היתר והביעו באמצעותו את אורך הניצב השני. x סמנו ב- . ב .x מצאו את ).(a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – 2ab + b2 (הדרכה: היעזרו בנוסחת הכפל המקוצר: . ג בכמה אחוזים גדול אורך היתר מאורך הניצב הנתון? . 24 ס"מ. 14 במשולש ישר-זווית סכום אורכי הניצבים הוא ס"מ. 10 אורך היתר הוא . א את אורך אחד הניצבים x סמנו ב- והביעו באמצעותו את אורך הניצב השני. . ב מצאו את אורכי הניצבים. . ג מצאו את היקף המשולש. C A B C A B 7 D 20 10
13 .ג היקף משולשים עם אוריינות בסעיף זה נעסוק במצבים מחיי היום יום בהם נדרש לחשב היקף של משולשים. דוגמה פתורה ּגַמְלֹון הוא אלמנט אדריכלי בצורת משולש שווה-שוקיים הממוקם בחזית של מבנה. בתמונה מופיע הגמלון שבחזית "האקדמיה היוונית הלאומית" באתונה. אדריכלית תכננה גג גמלון למרפסת של צימר (ראו סרטוט). ס"מ 90 הגמלון שתכננה הוא בצורת משולש שווה-שוקיים שגובהו מ'. 2.8 ורוחבו . א מהו אורך השוק של הגמלון? . ב מהו אורך קורת העץ הדרושה לבניית המשולש המרכיב את הגמלון (המשולש האדום)? פתרון: . א ס"מ. 280 = מ' 2.8 ס״מ, ולכן: 100 = מ׳ 1 נסרטט משולש ונציין בסרטוט את הנתונים. הגובה לבסיס במשולש שווה-שוקיים הוא גם תיכון לבסיס, ולכן מתקבלים שני משולשים ישרי-זווית חופפים שאורכי ניצביהם הם: .)280 : 2 = 140 ס"מ ( 140 ס"מ ו- 9 0 ס"מ את אורך השוק של הגמלון ונחשב את ערכו על-ידי שימוש במשפט פיתגורס: x נסמן ב- 902 + 1402 = x2 8100 + 19600 = x2 x2 = 27700 (הפתרון השלילי נפסל) x = ס״מ 166.43 מ׳. 1.66 = ס"מ 166.43 תשובה: אורך השוק של הגמלון הוא הערה: באופן דומה ניתן לחשב באמצעות המרת המידות למטרים. . ב אורך קורת העץ הדרושה לבניית המשולש המרכיב את הגמלון, הוא היקף המשולש: P = 280 + 2 ∙ 166.43 = ס״מ 612.8 6 מ'. 6.13 ס"מ, שהם 612.86 תשובה: לבניית הגמלון דרושה קורת עץ באורך של 140 140 280 90
14 . 25 גינה בצורת משולש ישר-זווית מוקפת בגדר. מ'. 10 אורך היתר במשולש הוא מ'. 6 אורך אחד הניצבים הוא . א מצאו את אורך הצלע השלישית של הגינה. . ב מהו אורך הגדר המקיף את הגינה? . 26 סולם הושען על קיר כמתואר באיור. ס"מ. 50 מ', והמרחק בין רגלי הסולם לקיר הוא 1.2 קצה הסולם הונח על הקיר בגובה . א ס"מ) 100 = ' מ 1 מהו אורך הסולם? (תזכורת: . ב ס"מ? 80 לאיזה גובה יגיע הסולם, אם המרחק בין רגלי הסולם לקיר הוא . 27 לפניכם תמונה של מקטע מתוך גשר ארסונד, המחבר בין דנמרק לשוודיה, ק"מ). 16 והוא הגשר הארוך בעולם ( המקטע המעוגן בכבלים הוא בצורת משולש שווה-שוקיים, מ'. 204 מ' וגובהו 490 שאורך בסיסו . א מצאו את אורך הכבל שמהווה את שוק המשולש (צבוע באדום). . ב מהו היקף המשולש שווה-השוקיים? . 28 ) הוא מתקן טיפוס לילדים המפתח את היכולות המוטוריות שלהם. Pikler משולש פיקלר ( ס"מ, המחוברים בצירים 86 המתקן מורכב משני סולמות זהים שאורך כל אחד מהם הוא וניתנים לפתיחה במפתחים שונים. . א ס"מ? 80 מה יהיה גובה המתקן כשהוא פתוח, אם המרחק בין הרגליים הוא . ב מה יהיה המרחק בין הרגליים כשהמתקן פתוח בזווית ישרה בין שני הסולמות? (1) ( 2) מה יהיה היקף המשולש במקרה זה? . 29 זגג התקין בעליית גג חלון שצורתו משולש שווה-שוקיים. מ'. 1.6 גובה החלון הוא מאורך שוק המשולש. 20% בסיסו של המשולש ארוך ב- . א את אורך שוק המשולש והביעו באמצעותו את: x סמנו ב- ( 1) .BC אורך בסיס המשולש ( 2) .DC אורך הקטע . ב מצאו את אורך שוק המשולש. . ג מצאו את אורך המסגרת של החלון. 6 10 מ׳ 1.2 ס״מ 50 86 80 A C B D
15 . 30 קולב בצורת משולש שווה-שוקיים, המחובר לוו תלייה, עשוי מחוט מתכת. מאורך הבסיס. 5 8 אורך השוק מהווה ס"מ. 90 אורך חוט המתכת הדרוש להכנת קולב אחד (ללא וו התלייה) הוא . א את אורך הבסיס והביעו באמצעותו את אורך השוק. x סמנו ב- . ב מצאו את אורכי הצלעות של המשולש. . ג מאורך חוט המתכת הדרוש לשוק. 50% לוו התלייה דרוש חוט מתכת שאורכו מה אורכו של חוט המתכת הדרוש לוו התלייה? . ד מ'? 20 כמה קולבים ניתן לייצר מחוט מתכת שאורכו . 31 מעל חנות גלידה תלוי שלט ובו צורה של גביע גלידה (מסומן בצבע ורוד). גביע הגלידה שבשלט הוא בצורת משולש שווה-שוקיים, שאורך הבסיס שלו מאורך השוק. 5 6 הוא מ'. 2.72 הפסים ביחד הוא 3 על כל צלע של הגביע יש פס נורות. אורך . א את אורך השוק של המשולש והביעו באמצעותו את היקף המשולש. x סמנו ב- . ב .x מצאו את . ג ס"מ האחת מהשנייה. 2 פס הנורות מורכב מנורות דקות מאוד, המונחות במרחק של נורות יספיק עבור הנורות הדרושות לגביע הגלידה? 150 האם מארז שבו . 32 העירייה ביישוב מסוים מתכננת להקים מתחם דשא בצורה הבאה: שטחי פרחים בצורת משולשים ישרי-זווית חופפים ובאמצע 4 המתחם בנוי מ- שטח עם דשא וספסלים. מסביב למשטחי הפרחים רוצים לבנות גדר. מ', 144 אורך הגדר הדרושה לגידור כל משטחי הפרחים הוא מ'. 15 אורך היתר בכל משולש הוא . א מהו אורך הגדר הדרוש לגידור משטח פרחים אחד? . ב את אורך אחד הניצבים במשולש והביעו באמצעותו את אורך x סמנו ב- הניצב השני. . ג מצאו את אורכי הניצבים של המשולש ישר-הזווית. . ד בין כל שני משולשים יש פתח כניסה. מאורך הניצב הקצר של המשולש ישר-הזווית. מצאו את רוחב הפתח. 20% רוחב כל פתח הוא 15 פתח פתח פתח פתח
16 היקף מרובעים בפרק זה נחזור על הנושא של היקף מרובעים שנלמד בחטיבת הביניים, תוך שימוש במשפט פיתגורס ובתכונות של מרובעים המופיעות בנספח א'. בחלק מהתרגילים בפרק זה נשתמש בפתרון משוואות ממעלה ראשונה וממעלה שנייה. מה נלמד? ✔ היקף מרובעים ללא אוריינות. ✔ היקף מרובעים עם אוריינות. .62-61 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' .א היקף מרובעים ללא אוריינות בסעיף זה נעסוק בחישובי היקפים של מרובעים: מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע וטרפז. תזכורת • , הוא: b ו- a שאורכי צלעותיה היקף מקבילית, P = 2a + 2b = 2(a + b) • , הוא: b ו- a שאורכי צלעותיו היקף מלבן, P = 2a + 2b = 2(a + b) • :4 שווה למכפלת אורך צלעו ב- היקף מעוין P = 4a • :4 שווה למכפלת אורך צלעו ב- היקף ריבוע P = 4a • שווה לסכום אורכי צלעותיו:היקף טרפז P = a + b + c + d a a b b a a b b a a a a a a a a a b c d
17 דוגמה פתורה מצאו את ההיקף של כל אחד מהמרובעים הבאים (הנתונים בס"מ). . א מקבילית 6 4 P = 2 ∙ 4 + 2 ∙ 6 = 20 תשובה : ס"מ 20 היקף המקבילית הוא . ב 5 8 מלבן P = 2 ∙ 8 + 2 ∙ 5 = 26 תשובה : ס"מ 26 היקף המלבן הוא . ג 7 ריבוע P = 4 ∙ 7 = 28 תשובה : ס"מ 28 היקף הריבוע הוא . ד 5.3 מעוין P = 4 ∙ 5.3 = 21.2 תשובה : ס"מ 21.2 היקף המעוין הוא . ה 4 14 8 10 טרפז P=10+4+8+14=36 תשובה : ס"מ 36 היקף הטרפז הוא ו . 9 21 12 טרפז שווה-שוקיים P=12+9+12+21=54 תשובה : היקף הטרפז שווה-השוקיים ס"מ 54 הוא . 33 מצאו את ההיקף של כל אחד מהמרובעים הבאים (הנתונים בס"מ). . א 12 9 מלבן . ב מקבילית 8 5 . ג 4.5 ריבוע . ד 8 7 9 15 טרפז . ה 6.1 מעוין ו . 14 15 22 טרפז שווה-שוקיים . ז 15 מעוין . ח 16 24 מלבן . ט מקבילית 6.2 8.8
18 . 34 ס"מ. 38 היקפו של מלבן הוא ס"מ. 24 סכום האורכים של שתי הצלעות הארוכות במלבן הוא מצאו את אורך הצלע הקצרה של המלבן. . 35 ס"מ. 4 אורך הבסיס הקטן של טרפז הוא ס"מ מאורך הבסיס הקטן. 3 אורך השוק הארוכה של הטרפז, גדול ב- מאורך הבסיס הקטן. 50% אורך השוק הקצרה של הטרפז, גדול ב- מאורך הבסיס הקטן. 2.5 אורך הבסיס הגדול, גדול פי מצאו את היקף הטרפז. . 36 ס"מ. 28 בטרפז שווה-שוקיים, אורך הבסיס הגדול הוא אורך שוק הטרפז שווה לאורך הבסיס הקטן. ס"מ. 76 היקף הטרפז הוא מצאו את אורך הבסיס הקטן של הטרפז. . 37 ס"מ. 22 סכום אורכי שתי צלעות סמוכות במקבילית הוא . א מצאו את היקף המקבילית. . ב הציעו שתי אפשרויות שונות לאורכי הצלעות של המקבילית הנתונה. . ג מה צריכים להיות אורכי הצלעות של המקבילית, כדי שהיא תהיה מעוין? . 38 נתונים ריבוע ומלבן שהיקפיהם שווים. ס"מ. 12 אורך הצלע הארוכה במלבן הוא ס"מ מאורך הצלע הארוכה 3 אורך הצלע של הריבוע, קטן ב- של המלבן. . א מצאו את היקף הריבוע. . ב מצאו את אורך הצלע הקצרה של המלבן. . 39 נתון: ABCD במלבן ס"מ. 15 הוא AC אורך האלכסון ס"מ. 12 אורך הצלע הארוכה של המלבן הוא . א מצאו את אורך הצלע הקצרה של המלבן. . ב מצאו את היקף המלבן. 4 15 12 A D B C
19 . 40 ס"מ. 46 היקף מלבן הוא ס"מ. 8 אורך הצלע הקצרה שלו הוא . א מצאו את אורך הצלע הארוכה של המלבן. . ב מצאו את אורך אלכסון המלבן. . 41 ס"מ. 21 אורכו של הגובה לצלע הארוכה הוא ABCD במקבילית ס"מ. 20 הוא DE אורך הקטע .DE מאורך הקטע 25% גדול ב- CE אורך הקטע . א מצאו את אורך הצלע הקצרה של המקבילית. . ב מצאו את היקף המקבילית. . 42 .AE = ס"מ 24 הוא ABCD אורך הגובה של טרפז מאורך הגובה של הטרפז. 2 , קטן פי AB אורך הבסיס הקטן .BC = ס״מ 26 , DE = ס"מ 18 נתון: . א של הטרפז. AD מצאו את אורך השוק הארוכה . ב .TC מצאו את אורך הקטע . ג מצאו את היקף הטרפז. . 43 ס"מ. 15 בטרפז ישר-זווית אורך הבסיס הקטן הוא ס"מ. 20 אורך גובה הטרפז הוא גובה הטרפז מחלק את הבסיס הגדול לשני חלקים שווים. . א מצאו את אורך השוק הארוכה של הטרפז. . ב מצאו את היקף הטרפז. . 44 ס"מ. 9 הוא BD אורך האלכסון ABCD במעוין ס"מ. 24 הוא ∆ABD היקף המשולש . א ?∆ABD מהו הסוג של המשולש . ב מצאו את אורך הצלע של המעוין. . ג .AC מצאו את אורך האלכסון 8 20 21 A D B C E B C T E D A A C D B
20 . 45 3 במעוין שלפניכם אורך האלכסון האחד גדול פי מאורך האלכסון השני (הנתונים בס"מ). מצאו את היקף המעוין. . 46 ס"מ. 50 היקפו של טרפז שווה-שוקיים הוא ס"מ. 12.5 אורך השוק של הטרפז הוא מאורך השוק. 2.5 אורך הבסיס הקטן, קטן פי . א מצאו את אורך הבסיס הקטן. . ב מצאו את אורך הבסיס הגדול. . ג .x מצאו את אורך הקטע המסומן ב- . ד מצאו את גובה הטרפז. דוגמה פתורה .(AD = BC) ABCD נתון טרפז שווה-שוקיים ס"מ. 8 הוא DC אורך הבסיס הגדול ס"מ. 2 הוא AB אורך הבסיס הקטן ס"מ מאורך השוק של הטרפז. 1 אורך הגובה של הטרפז קטן ב- . א את אורך השוק של הטרפז x סמנו ב- והביעו באמצעותו את אורך הגובה של הטרפז. . ב קטעים. 3 שני הגבהים של הטרפז מחלקים את הבסיס הגדול ל- מצאו את אורך שלושת הקטעים. . ג היעזרו במשפט פיתגורס ומצאו את אורך שוק הטרפז. . ד .ABCD מצאו את היקף הטרפז פתרון: . א ס"מ את אורך השוק של הטרפז. x נסמן ב- ס"מ מאורך השוק. 1 ידוע שאורך גובה הטרפז, קטן ב- ס"מ. (x – 1) לכן אורך הגובה יהיה 9 12.5 X B C T K D A
21 . ב הוא מלבן. שתי הצלעות הנגדיות במלבן שוות, ולכן: ABKT • המרובע AB = TK = ס"מ 2 • .8 – 2 = ס"מ 6 הוא: KC ו- DT סכום אורכי הקטעים שני המשולשים חופפים, ולכן: DT = KC = 6 2 = ס"מ 3 .DT = ס"מ 3 ,TK = ס"מ 2 ,KC = ס"מ 3 תשובה: . ג . לפי משפט פיתגורס: ∆BKC נתבונן במשולש (x – 1)2 + 32 = x2 x2 – 2x + 1 + 9 = x2 –2x + 10 = 0 / –10 –2x = –10 / :(–2) x = 5 ס"מ. 5 תשובה: אורך השוק הוא . ד היקף הטרפז שווה לסכום אורכי צלעותיו, ולכן: P = AB + BC + DC + AD = 2 + 5 + 8 + 5 = ס"מ 2 0 ס"מ. 20 תשובה: היקף הטרפז שווה . 47 ס"מ. 36 מכפלת האלכסונים של ריבוע היא . א את אורך אלכסון הריבוע ובנו משוואה מתאימה. x סמנו ב- . ב מצאו את אורך אלכסון הריבוע. . ג מצאו את היקף הריבוע. והיעזרו במשפט פיתגורס.) a (הדרכה: סמנו את צלע הריבוע ב- . 48 מאורך הצלע הקצרה. 2 אורך הצלע הארוכה במלבן, גדול פי ס"מ. 72 היקף המלבן הוא . א את אורך הצלע הקצרה x סמנו ב- והביעו באמצעותו את אורך הצלע הארוכה. . ב את היקף המלבן. x הביעו באמצעות . ג ואת אורכי צלעות המלבן. x מצאו את . 49 מאורך הצלע הארוכה. 75% אורך הצלע הקצרה במקבילית מהווה ס"מ. 42 היקף המקבילית הוא . א את אורך הצלע הארוכה והביעו באמצעותו את היקף המקבילית. x סמנו ב- . ב .x מצאו את B C T K D A 2 x–1 x 8 x x
22 . 50 ס"מ. 107 היקפו של טרפז הוא ס"מ מאורך השוק הארוכה. 4 אורך השוק הקצרה, קטן ב- מאורך השוק הארוכה. 30% אורך הבסיס הגדול, גדול ב- מאורך השוק הארוכה. 40% אורך הבסיס הקטן מהווה . א את אורך השוק הארוכה והביעו באמצעותו את אורך צלעות הטרפז. x סמנו ב- . ב .x את היקף הטרפז ומצאו את x הביעו באמצעות . ג מצאו את אורך צלעות הטרפז ובדקו את תשובתכם. . 51 ס"מ. 46 סכום האורכים של שתי צלעות סמוכות במלבן הוא ס"מ. 34 אורך אלכסון המלבן הוא . א את אורך אחת הצלעות במלבן x סמנו ב- את אורך הצלע הסמוכה לה. x והביעו באמצעות . ב מצאו את אורכי צלעות המלבן. . ג מצאו את היקף המלבן. .)x (הערה: ניתן למצוא את ההיקף גם ללא מציאת ה- . 52 ס"מ. 52 הוא ABCD היקף המעוין .EC מאורך הקטע 2.4 , גדול פי BE אורך הגובה של המעוין . א מצאו את אורך צלע המעוין. . ב והביעו באמצעותו EC את אורך הקטע x סמנו ב- .BE את אורך הגובה . ג .∆BEC מצאו את אורכי צלעות המשולש . 53 .ABCD נתון טרפז שווה-שוקיים גובהי הטרפז מחלקים אותו לשלושה חלקים כך שאורך .DE מאורך הקטע 2 גדול פי ET הקטע ס"מ. 4 אורך הגובה הוא .DE ס"מ מאורך הקטע 2 אורך השוק גדול ב- . א .DC , AB , ET , AD את אורכי הקטעים: x והביעו באמצעות DE את אורכו של x סמנו ב- . ב מצאו את אורך השוק של הטרפז. . ג מצאו את היקף הטרפז. x A B E C D A B T C E D
RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=